本版与初版不同处是增添了第八章Finsler几何。这其实是1854年Riemann原来的提议。他试了四次微分式的四次根，发现计算很繁，便限于二次微分式，即现在熟知的黎曼几何。
近百年来，黎曼几何是微分几何的主要内容，发展广泛。自然有推广的需要。
我想，最自然的推广是回到Riemann原来的定义，现在叫做”Finsler几何”。这就是变分学，几百年来都是数学的中心课题。
Finsler的论文发表在1918年。第一步研究是Finsler几何的局部性质一。这并不简单:Riemann没有做，而Cartan的联络坚持了内积不变的性质，因之陷入复杂的计算。本版书中引进了我于1948年所定的联络。我想，这是Finsler几何的适当工具，值得费点时间去了解。
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